contoh makalah Riset Operasi

BAB  I

PENDAHULUAN

1.1       Latar belakang

Riset operasi memiliki arti yang berbeda dengan  namanya. Istilah atau tujuan maka kuliah ini  tidak sepenuhnya berhubungan dengan “riset” (penelitian) apalagi dengan Operasi (operational). Riset operasional menjadi satu rangkaina kata yang memiliki arti tersendiri yaitu sebagai disiplin ilmu yang  mempelajari permodelan matematika dalam  pemrosesan pengambilan keputusan.

Riset Operasional ( atau lebih dikenal dengan  operasion research atau Quantitatif quality ) merupakan serangkaian kegiatan analisis dan permodelan matematika untuk keperluan pengambilan keputusan. Banayak persoalan managerial disuatu organisai/perusahaan yang senantiasa mengkaitkan dengan proses pengambilan keputusan (decition making)

 Walaupun tujuan  Riset Operational Adalah  mendapatkan   solusi Optimal Namun dalam praktik   manajerial lebih dipentingkan solusi yang memuaskan ( satisficing).

Keputusan dalam bisnis lebih banyak ditentukan oleh pelaku sang pengambil keputusan  ( apakah dia seorang yang optimis atau pesimis berani atau takut dalam mengambil resiko atau sifat- sifat lainya.). Analisis Kuantintatif dan sistematik tetap dibutuhakan sebagai argumentasi yang dapat diprtanggung jawabkan secara rasional.

Makalah ini dimaksud sebagai panduan praktis bagi para dosen atau mahasiswa yang akan mempelajari materi ini khusus nya jurusan teknik mesin yang mempelajari Kurikulum mata kuliah Riset operasional.

Kehadiran mahasiswa dalam perkuliahan tetap digunakan utuk pemahaman lanjut atau berdiskusi terhadap pengguna praktis setiap konsep/teori/ model di perusahaan atau organisasi lainya. Sistem nilai oprasi terakir terdiri atas UTS Dan UAS.

1.2       Rumusan Masalah

Persoalan keputusan senantiasa dihadapi oleh manusia. Misalnya: saat pagi atau subuh, dia sudah harus mengambil keputusan untuk segera bangun atau terus tidur. Saat pergi ke kampus, dia pun harus memutuskan naik apa, dengan siapa, cepat atau lambat, dan seterusnya.

Hal yang lebih baik adalah dengan mengambil suatu keputusan walaupun salah. Keputusan yang diambil pertama kali berdampak kepada keputusan berikutnya. Demikianlah hal ini berlansung dalam kehidupan manusia.

1.3       Tujuan

Ada banyak keputusan yang diambil secara apa adanya tanpa perlu dipikirkan, misalnya: mengedipkan mata, menepuk nyamuk di tangan, meneguk minuman, dan sebagainya. Ada pula keputusan yang harus dipikrkan secara matang dan seksama, misalnya memilih sekolah, kuliah, tempat kerja, istri, dan sebagainya. Dalam Perusahaan, Keputusan manajerial harus diambil dengan mempertimbangkan berbagai kendala yang ada, diselesaikan dengan sistematis, dan dievaluasi hasilnya untuk menjadi proses perbaikan yang berkelanjutan.

Download  file nya disini

Hidup tak selalu seperti yang kamu mau. Hal baik dan buruk terjadi selalu, namun semua itu telah diatur Tuhan, dengan akhir yang indah.

Jangan terlalu pikirkan sendirimu, karena ada seseorang di luar sana yang sedang bertanya-tanya seperti apa rasanya bertemu denganmu.

Jangan tangisi mereka yang meninggalkanmu demi orang lain. Jika mereka cukup bodoh melepasmu, kamu harus cukup pintar melupakannya.

Setiap orang punya masalah. Lebih baik mencari solusi masalahmu dari pada membandingkan masalahmu dengan orang lain.

Kadang kamu bertemu seseorang yang sangat berarti dalam hidupmu hanya tuk menyadari pada akhirnya kamu harus melepaskannya.

Pikirkan apapun yang akan kamu ucapkan. Karena setiap ucapan yang keluar dari mulutmu, tak akan bisa kamu tarik kembali.

Cintai apapun yang ada didunia dengan sewajarnya. Karena apapun yang ada di dunia tak ada yang abadi.

makalah kalkulus

BAB I

PENDAHULUAN

1.1  Latar belakang

            Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.

Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika.

1.2 Batasan masalah

            Banyak hal yang bisa diterangkan dalam membahas mengenai mata kuliah matematika. Karena dalam matematika banyak hal yang dapat kita bahas dan kita kembangkan untuk mengetahui seluk beluk dari matematika tersebut. Contohnya seperti fungsi linear, turunan, limit, dsb

Namun karena keterbatasan materi dan waktu yang harus dijelaskan, maka penulis memberi batasan dalam pembuatan makalah ini. Yaitu penulis hanya menjelaskan mengenai “Bilangan, Fungsi dan limit, Integral dan Penerapan integral”

1.3 Maksud dan tujuan

1)      Sebagai salah satu bentuk latihan

2)      Sebagai salah satu tugas yang di syaratkan untuk menempuh UAS.

3)      Sebagai rekap dari hasil mata kuliah yang didapat dari pertemuan-pertemuan selama pembelajaran.

4)      Mengembangkan pengetahuan, sikap dan kemampuan serta menambah wawasan mahasiswa dan mahasiswi yang berkaitan dengan mata kuliah yang telah diterima di kampus.

5)      Untuk mengetahui pengertian tentang matematika kalkulus

BAB II

PEMBAHASAN

1. BILANGAN

1.1 Pengertian Bilangan

System bilangan (number system) adalah  suatu cara untuk mewakili besaran dari suatu item fisik. Sistem bilanan yang banyak dipergunakan oleh manusia adalah system biilangan desimal, yaitu sisitem bilangan yang menggunakan 10 macam symbol untuk mewakili suatu besaran.Sistem ini banyak digunakan karena manusia mempunyai sepuluh jari untuk dapat membantu perhitungan.

Lain halnya dengan komputer, logika di komputer diwakili oleh bentuk elemen dua keadaan yaitu off (tidak ada arus) dan on (ada arus). Konsep inilah yang dipakai dalam sistem bilangan binary yang mempunyai dua macam nilai  untuk mewakili suatu besaran nilai. Selain system bilangan biner, komputer juga menggunakan system bilangan octal dan hexadesimal.

Sistem bilangan real

Bagan Sistem Bilangan real :

                                                                  bil. nol                     bil. positif

 Bil. Rasional                   bil. Bulat                   bil. negatif

BIL.REAL                                                         bil.pecaha

                   Bil.irasional

Sifat-sifat Bil. Real :

1.  Sifat Komutatif, x + y = y + x atau xy = yx

2.  Sifat Assosiatif, (x+y)+z = x + (y+z) atau (xy)z = x(yz)

3.  Sifat Distribusi x(y+z) = xy + xz

4   Hukum Identitas, x + 0 = 0 + x = x  x.1 = 1.x = x

     Maka 0 adalah bilangan identitas untuk perjumlahan  1 adalah bilangan identitas untuk perkalian

5.  Hukum Invers, x+(-x) = 0 (Lawan)  x(1/x) = 1  (kebalikan)

Macam – macam bilangan :

1. Bilangan Desimal

Sistem ini menggunakan 10 macam symbol yaitu 0,1,2,3,4,5,6,7,8,dan 9. system ini menggunakan basis 10. Bentuk nilai ini dapat berupa integer desimal atau pecahan.

     Contoh : 21,5 dan 14,7

2. Bilangan Binar

Sistem bilangan binary menggunakan 2 macam symbol bilangan berbasis 2digit angka, yaitu 0 dan 1.

     Contoh: bilangan 1001

3. Bilangan Oktal

     Sistem bilangan Oktal menggunakan 8 macam symbol bilangan berbasis 8 digit angka, yaitu 0 ,1,2,3,4,5,6,7.

Position value system bilangan octal adalah perpangkatan dari nilai 8.

Contoh : 12₍₈₎ = …… ₍₁₀₎

1.2 Pertidaksamaan

Kalimat terbuka yang menyatakan hubungan ”lebih besar dari (>)”, lebih besar dari samadengan (≥)” lebih kecil dari (<)” atau “lebih kecil dari sama dengan (≤)”

Contoh:  x + 1 ≥ 0 dan x^{2 +}  5x + 6 < 0

Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan:

1.      Kedua ruas kiri dan kanan dapat ditambahkan/dikurangkan dengan bilangan yang sama

2.   Kedua ruas dapat dikalikan/dibagikan dengan bilangan positif yang sama

3.   Kedua ruas dapat dikalikan/dibagikan dengan blangan negatif yang sama dengan syarat membalikan tanda pertidaksamaan

Contoh :

a. 2x – 1 ≤ 0

b. 3x – 7 < 4x + 5

penyelesaian:

a. 2x – 1 ≤ 0

      2x ≤ 1

      x ≤ ½ jadi Hp ={x| x ≤ ½ ,x є R}

b. 3x – 7 < 4x + 5

    3x – 4x < 5 + 7

    -x < 12

      x > -12

      Hp ={x| x >-12 ,x є R}

1.3 Nilai Mutlak

Nilai mutlak suatu bilangan real dinyatakan dengan |x| didefinisikan:

      |x| = x   jika x ≥ 0

      |x|= - x  jika x < 0

Contoh: |-7| = 7 dan |7|= 7

Persamaan Nilai Mutlak:

Contoh:

tentukan nilai x yang memenuhi: |3x-5|= 4

Penyelesaian :

            3x-5 = 4     atau      3x-5= -4

      3x = 9                             3x = -4+5

         x = 3                            3x = 1

                                              x = 1/3

Hp = {1/3, 3}

Akar kuadrat

Rumus akar kuadrat       

Contoh: Selesaikan  

 

Penyelesaian:           

    

                                         

1.4 Garis Lurus.

      Kemiringan Garis (m).

      Kemiringan garis (m) merupakan hasil bagi dari suatu kenaikan (perubahan tegak) terhadap suatu larian (perubahan mendatar) dengan kata lain ukuran kecuraman suatu garis untuk sebuah garis melalui A(x₁, y₁) dan B(x₂, y₂) dengan x₁ ≠ x₂

Dapat didefinisikan menjadi :

m=        kenaikan             =      y2 – y1                larian                         x2 – x1

 

Titik A(3.2) ; B (8.4)

       Y

                                                                      B(8.4)

      4

      3

      2

      1                A(3.2)          

                                                                       x

               1     2     3     4     5     6     7     8   

                                 Gambar 1.1

Beberapa konsep kemiringan garis.

-          Garis mendatar mempunyai kemiringan nol

-          Garis yang naik ke kanan mempunyai kemiringan positif

-          Garis yang jatuh ke kanan mempunyai kemiringan negative.

Kemiringan Titik

Garis yang melalui titik tetap (x₁, y₁) dengan kemiringan garis m disebut kemiringan titik dengan persamaan:

y- y1 = m ( x – x1 )

Titik A ( 3.2 ) , B ( 8.4 )

                y                                                                     B(8.4)

             4

             3                                                            y - 2

             2                       ---------------------------

             1                A (3.2)          x – 3

                       1     2     3     4     5     6     7     8      x

Jika (8.4) digunakan sebagai (x₁, y₁) maka :

y – y₁ = m (x – x₁)

 y – 4 =2/5( x – 8 )

 y = 2/5 x – 16/5 + 4

5y = 2x – 16 + 20

5y – 2x = 20 …………..(i)

Jika (3.2) digunakan sebagai (x1, y1)

y – y₁ = m ( x – x₁ )

y – 2 = 2/5 ( x – 3)

y – 2 = 2/5 x – 6/5

y = 2/5 x – 6/5 + 2

5y = 2x – 6 + 10

5y – 2x = 4 ……………..(ii)

Persamaan (i) dan (ii) ekuivalen.

Kemiringan Intersep.

            Andaikan diketahui m adalah kemiringan suatu garis dan b adalah perpotongan dengan sumbu y ( artinya garis memotong sumbu y di (0,b)). Dengan memilih (0, b) sebagai (x₁, y₁) dan menerapkan bentuk kemiringan titik diperoleh :

y - b = m (x – 0) y = mx + b

2. Fungsi dan Limit.

           2.1 Fungsi dan Grafiknya.

            Fungsi merupakan suatu aturan korespondensi yang menghubungkan setiap objek x dalam satu himpunan yang disebut daerah asal dengan sebuah nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua. Himpunan yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil fungsi.

·         Notasi fungsi.

Untuk memberi nama fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti “f  pada x “, menunjukkan nilai yang diberikan oleh f  kepada x. Jadi, f(x) = x³ – 4.

Perhatikan bentuk fungsi dan bukan fungsi berikut :

                                       Fungsi                                                                  bukan fungsi

 

    

 

                   Daerah asal              Daerah hasil                                Daerah asal           

Daerah hasil

Apabila aturan untuk suatu fungsi diberikan oleh sebuah persamaan berbentuk y = f(x), mis y = x3 + 3x – 6, x = peubah bebas ; y = peubah tak bebas dan nilai y tergantung dari pilihan nilai x.

·         Grafik Fungsi.

Apabila daerah asal dan daerah hasil sebuah fungsi merupakan bilangan real, kita dapat membayangkan fungsi itu dengan menggambarkan grafiknya pada suatu bidang koordinat, jadi grafik fungsi f menyederhanakan grafik dan persamaan y = f (x).

Mis :

Grafik – grafik dari :

a.       f(x) = x² – 2                                                                b. g(x) = x³ – 2x

 

                  y                                                                                      y

                 3                                                                                     6

                 2                                                                                     4

                 1                                                                                     2

-3   -2   -1      1   2   3      x                                            -3   -2   -1         1   2  

                -1                                                                                    -2

                -2                                                                                    -4

                -3                                                                                    -6

·         Jenis – Jenis Fungsi

a.       Fungsi konstan

Sebuah fungsi berbentuk f (x) = k, dengan k konstan (bilangan real)

Grafiknya berupa sebuah garis mendatar.

b.      Fungsi identitas.

Sebuah fungsi berbentuk f(x) = x. Grafiknya berupa sebuah garis yang melalui titik asal dengan kemiringan 1.

c.       Fungsi Polinomial.

Sembarang fungsi yang dapat diperoleh dari fungsi konstandan fungsi identitas menggunakan operasi penambahan, pengurangan dan perkalian.

        f(x) = a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + …+ a₁ x + a₀

d.      Fungsi rasional

Hasil bagi fungsi – fungsi polynomial

                              a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + …+ a₁ x + a₀

              f(x)     = 

b_n x^m + b_m-1 x^m-1 + …+ b₁ x + b₀

e.       Fungsi Aljabar Eksplisit

Fungsi yang dapat diperoleh dari fungsi konstan dan fungsi identitas melalui lima operasi penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan penarikan akar.

             f(x) = 3x^2/5 - 3√x²

2.2 Fungsi Tri Gonometri

a.       Sifat – sifat dasar sinus dan kosinus.

                  c

sin b =  k/m

cos b = l/m

tan b = k/l

                                 k                                               

                                                                                  

                      a                       b

b.      Grafik Sinus dan Kosinus

                

                    y

    y= cos x    2     y = sin x

                      1

                     

-2π     -π               1/2π     π         2π    x

                              -1

                             -2

c.       Empat Fungsi Trigonometri

1.      Tan x    = sin x / cox x

2.      Cot x   = cos x / sin x

3.      Sec x   = 1 / cos x

4.      Cosec x = 1 / sin x

2.3 Teorema limit utama

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang memiliki limit di a, aÎbilangan Real, nÎ bilangan bulat positif dan k konstanta berlaku

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

                                                                                                                                              

2.4 Teorema limit tak hingga

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang memiliki limit di a, aÎbilangan Real, nÎ bilangan bulat positif dan k konstanta berlaku

1.

2.

3.

Jika  ada dan  ada, maka

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

                                                                      

11. Jika maka

12. Jika maka

Contoh soal :

a.  

                               = 3.0 – 4 = -4

b. 

                                    =

                                    =  =

3. INTEGRAL

Rumus integral:

Beberapa macam teknik pengintergralan digunakan untuk menentukan antiturunan  bermacam-macam fungsi. Hal ini bertujuan untuk memudahkan dalam menentukan penyelesaian  integral fungsi yang ditentukan. Agar teknik-teknik pengingtegralan dapat dipahami oleh pembaca maka dalam bab ini akan dirincikan metode-metode pengintegralan dengan syarat-syarat yang ditentukan. 

—  Integral adalah lawan diferensiasi. Penulisan simbol integral:

    

—  Rumus – rumus dasar integrasi

      

      

Contoh :

1.

 

2.

 

3.

 

4.

 

5.

3.1  Pembagian integral

3.1.1 Integral Tertentu

Diberikan suatu fungsi ƒ bervariabel real x dan interval antara [a, b] pada garis real, integral tertentu:

secara informal didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang xy yang dibatasi oleh kurva grafik ƒ, sumbu-x, dan garis vertikal x = a dan x = b. Pada notasi integral di atas: a adalah batas bawah dan b adalah batas atas yang menentukan domain pengintegralan, ƒ adalah integran yang akan dievaluasi terhadap x pada interval [a,b], dan dx adalah variabel pengintegralan.

Seiring dengan semakin banyaknya subinterval dan semakin sempitnya lebar subinterval yang diambil, luas keseluruhan batangan akan semakin mendekati luas daerah di bawah kurva.

Terdapat berbagai jenis pendefinisian formal integral tertentu, namun yang paling umumnya digunakan adalah definisi integral Riemann. Integral Rieman didefinisikan sebagai limit dari penjumlahan Riemann. Misalkanlah kita hendak mencari luas daerah yang dibatasi oleh fungsi ƒ pada interval tertutup [a,b]. Dalam mencari luas daerah tersebut, interval [a,b] dapat kita bagi menjadi banyak subinterval yang lebarnya tidak perlu sama, dan kita memilih sejumlah n-1 titik {x₁, x₂, x₃,..., x_{n - 1}} antara a dengan b sehingga memenuhi hubungan:

Himpunan tersebut kita sebut sebagai partisi [a,b], yang membagi [a,b] menjadi sejumlah n subinterval

 Lebar subinterval pertama [x₀,x₁] kita nyatakan sebagai Δx₁, demikian pula lebar subinterval ke-i kita nyatakan sebagai Δx_i = x_i - x_{i - 1}. Pada tiap-tiap subinterval inilah kita pilih suatu titik sembarang dan pada subinterval ke-i tersebut kita memilih titik sembarang t_i.

            Maka pada tiap-tiap subinterval akan terdapat batangan persegi panjang yang lebarnya sebesar Δx dan tingginya berawal dari sumbu x sampai menyentuh titik (t_i, ƒ(t_i)) pada kurva. Apabila kita menghitung luas tiap-tiap batangan tersebut dengan mengalikan ƒ(t_i)· Δx_i dan menjumlahkan keseluruhan luas daerah batangan tersebut, kita akan dapatkan:

Penjumlahan S_p disebut sebagai penjumlahan Riemann untuk ƒ pada interval [a,b]. Perhatikan bahwa semakin kecil subinterval partisi yang kita ambil, hasil penjumlahan Riemann ini akan semakin mendekati nilai luas daerah yang kita inginkan. Apabila kita mengambil limit dari norma partisi mendekati nol, maka kita akan mendapatkan luas daerah tersebut.

Secara cermat, definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann adalah: Diberikan ƒ(x) sebagai fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [a,b]. Kita katakan bahwa bilangan I adalah integral tertentu ƒ di sepanjang [a,b] dan bahwa I adalah limit dari penjumlahan Riemann

apabila kondisi berikut dipenuhi: Untuk setiap bilangan ε > 0 apapun terdapat sebuah bilangan δ > 0 yang berkorespondensi dengannya sedemikian rupanya untuk setiap partisi di sepanjang [a,b] dengan dan pilihan t_i apapun pada [x_{k - 1}, t_i], kita dapatkan

 

Secara matematis dapat kita tuliskan:

Apabila tiap-tiap partisi mempunyai sejumlah n subinterval yang sama, maka lebar Δx = (b-a)/n, sehingga persamaan di atas dapat pula kita tulis sebagai:

Limit ini selalu diambil ketika norma partisi mendekati nol dan jumlah subinterval yang ada mendekati tak terhingga banyaknya.

Contoh

1.      Sebagai contohnya, apabila kita hendak menghitung integral tertentu , yakni mencari luas daerah A dibawah kurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka perhitungan integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemannnya adalah

Pemilihan partisi ataupun titik t_i secara sembarang akan menghasilkan nilai yang sama sepanjang norma partisi tersebut mendekati nol. Apabila kita memilih partisi P membagi-bagi interval [0,b] menjadi n subinterval yang berlebar sama Δx = (b - 0)/n = b/n dan titik t'_i yang dipilih adalah titik akhir kiri setiap subinterval, partisi yang kita dapatkan adalah:dan , sehingga:

Seiring dengan n mendekati tak terhingga dan norma partisi mendekati 0, maka didapatkan:

Dalam prakteknya, penerapan definisi integral tertentu dalam mencari nilai integral tertentu tersebut jarang sekali digunakan karena tidak praktis. Teorema dasar kalkulus (lihat bagian bawah) memberikan cara yang lebih praktis dalam mencari nilai integral tertentu.

Integral tertentu biasa digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi  kurva y=f(x) dan sumbu x, dengan batas tertentu

Sifat – sifat integral tertentu

1.

 

2.

 

3.

 

4.

 

5.

 

6.

Luas daerah yang dibatasi kurva y=f(x) dan sumbu x dengan batas x1=a dan x2=b

 

Luas Daerah Antara Dua Kurva Untuk interval [a,b] dengan f(x)>=g(x), maka:

 

 

3.1.2        Integral tak tentu

Manakala integral tertentu adalah sebuah bilangan yang besarnya ditentukan dengan mengambil limit penjumlahan Riemann, yang diasosiasikan dengan partisi interval tertutup yang norma partisinya mendekati nol, teorema dasar kalkulus (lihat bagian bawah) menyatakan bahwa integral tertentu sebuah fungsi kontinu dapat dihitung dengan mudah apabila kita dapat mencari antiturunan/antiderivatif fungsi tersebut. Apabila :

Keseluruhan himpunan antiturunan/antiderivatif sebuah fungsi ƒ adalah integral tak tentu ataupun primitif dari ƒ terhadap x dan dituliskan secara matematis sebagai:

 

Ekspresi F(x) + C adalah antiderivatif umum ƒ dan C adalah konstanta sembarang.

Misalkan terdapat sebuah fungsi f(x) = x², maka integral tak tentu ataupun antiturunan dari fungsi tersebut adalah:

Perhatikan bahwa integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral tertentu dalam bentuk adalah sebuah bilangan, manakala integral tak tentu : adalah sebuah fungsi yang memiliki tambahan konstanta sembarang C.

4. TEKNIK PENGINTEGRALAN

4.1 Metode-metode pengintegralan

            1. Metode Substitusi

          Metode substitusi disebut juga metode pemisalan. Pada umumnya digunakan untuk memudahkan selesaian integral ke bentuk rumus dasar rumus integral tak tentu, yaitu;

a. dx =   + C, asalkan n  -1 atau

b.  = + C, asalkan n  -1

          Sehingga rumus di atas adalah pedoman umumnya, jika integrannya belum sesuai dengan tanda integralnya atau menyimpang dari bentuk di atas maka sedapat mungkin diubah terlebih dahulu. . Dengan demikian menyederhanakan integran menjadi bentuk baku adalah dengan mengaplikasikan rumus dasar integral tidak tentu tersebut di atas.  Akhirnya  selesaiannya dapat dilakukan dengan metode substitusi (pemisalan).

2.      Integral Fungsi Trigonometri

Beberapa rumus dasar Integral fungsi Trigonometri adalah:

1.  

2.

  

4.

           

4.          

5.     

  

6.     

 

7.     

8.     

9.     

3.      Substitusi Fungsi Trigonometri

Metode substitusi trigonometri digunakan untuk menyelesaikan integral suatu fungsi, jika integrannya memuat bentuk-bentuk:

a. , a  Real

b. =  , a  Real

c.  , a  Real

atau bentuk lain yang dapat dimodifikasi menjadi bentuk di atas, misalnya     dan seterusnya. Bentuk integral yang integrannya memuat  atau modifikasinya, penyelesaiannya menggunakan substitusi x = a sin t,   -    sehingga, = a sec t dan dx = a cos t dt.

4.      Integral Parsial

Integral parsial biasanya diterapkan untuk suatu integran yang merupakan perkalian dua fungsi uv, dimana u = f(x) dan v = g(x).

Karena y = uv, maka menurut definisi differensial dan turunan fungsi y = uv diperoleh dy = d(uv) d(uv) = u dv  + v du

Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh

l

Bentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial. Prinsip yang digunakan dalam integral parsial adalah integran yang berbentu uv di manipulasi menjadi u dv dan dalam menentukan udv tidak boleh memunculkan persoalan yang lebih sulit dibandingkan dengan  tersebut.

5.      Integral Fungsi Rasional.

Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk F(x) = ,  dimana f(x) , g(x) adalah fungsi pangkat banyak dan g(x) 0. f(x) = a + a x            + a x  + a x + … + a x , n = 1, 2, 3, …

Contoh soal dan penyelesaian :

1.      dx

                   Misal     u        =  

                  

                  

                  

                   Substitusi bentuk terakhir ke  dx, diperoleh

                   = -2

                   Dengan rumus dasar di dapat

                    dx     = -2

                    = -2

                  2.

     Jawab 

           =  dx

                           =

                           =

                                                = -cos x +

1.

     Karena integran fungsi rasional sejati maka

         =

                                        =

                                        =

     Diperoleh

     A+4B = 6, (B+4C) = -3, (A+C) = 1 atau A = 2, B = 1, dan C = -1 sehingga:

         =

                                        =

                                        =

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

            Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.

3.2 Saran- saran

1. Setiap orang  harus lebih giat dalam mencari altrnatif dalam mengembangkan dan memajukan pola pikirnya dalam mempelajari kalkulus masing-masing.

2.  Dengan banyaknya perbedaan dalam pelajaran kalkulus maka setiap orang dituntut untuk lebih kreatif dan inovatif.

3.  Kalkulus merupakan ilmu yang sangat sulit dipelajari, jadi kita hrus lebih giat lagi dalam belajar.

4. Dalam mempelajari kalkulus kita bias juga mempelajari soal-soal yang berhubungan dengan pelajaran tersebut.

DAFTAR PUSTAKA

Putra, 2004, Matematika  Kalkulus  Jilid 1, Jakarta: PT GramediaWidiasarana Indonesia.

Tim Penulis Matematika, 1995, Matematika  1B Edisi Revisi, Bandung: PT Remaja Rosdakarya.

Tim Penulis Matematika, 2004, Matematika Untuk SMK Kelas 1,DinasPendidikan Propinsi Jawa Barat

Anonim. 1996. Mathematic for school . longman

Sumarno, Ade, Baharudin dan Dedi rohendri. 1980. Penuntun belajar matematika. Bandung . Epsilon Group.

Tim penyusun . 1999 . ilmu pengetahuan popular jilid 2. Grolier internasional.inc.