BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar belakang
1.2 Batasan masalah
Banyak hal yang bisa diterangkan dalam membahas mengenai
mata kuliah matematika. Karena dalam matematika banyak hal yang dapat kita
bahas dan kita kembangkan untuk mengetahui seluk beluk dari matematika
tersebut. Contohnya seperti fungsi linear, turunan, limit, dsb
Namun karena keterbatasan materi dan waktu yang harus
dijelaskan, maka penulis memberi batasan dalam pembuatan makalah ini. Yaitu
penulis hanya menjelaskan mengenai “Bilangan,
Fungsi dan limit, Integral dan Penerapan integral”
1.3
Maksud dan tujuan
1)
Sebagai
salah satu bentuk latihan
2)
Sebagai
salah satu tugas yang di syaratkan untuk menempuh UAS.
3)
Sebagai
rekap dari hasil mata kuliah yang didapat dari pertemuan-pertemuan selama
pembelajaran.
4)
Mengembangkan
pengetahuan, sikap dan kemampuan serta menambah wawasan mahasiswa dan mahasiswi
yang berkaitan dengan mata kuliah yang telah diterima di kampus.
5)
Untuk mengetahui pengertian tentang
matematika kalkulus
BAB II
PEMBAHASAN
1.
BILANGAN
1.1
Pengertian Bilangan
System
bilangan (number system) adalah suatu
cara untuk mewakili besaran dari suatu item fisik. Sistem bilanan yang banyak
dipergunakan oleh manusia adalah system biilangan desimal, yaitu sisitem
bilangan yang menggunakan 10 macam symbol untuk mewakili suatu besaran.Sistem
ini banyak digunakan karena manusia mempunyai sepuluh jari untuk dapat membantu
perhitungan.
Lain
halnya dengan komputer, logika di komputer diwakili oleh bentuk elemen dua
keadaan yaitu off (tidak ada arus) dan on (ada arus). Konsep inilah
yang dipakai dalam sistem bilangan binary yang mempunyai dua macam nilai untuk mewakili suatu besaran nilai. Selain system
bilangan biner, komputer juga menggunakan system bilangan octal dan
hexadesimal.
Sistem
bilangan real
Bagan
Sistem Bilangan real :
bil. nol bil.
positif
Bil. Rasional bil.
Bulat bil. negatif
BIL.REAL bil.pecaha
Bil.irasional
Sifat-sifat Bil. Real :
1. Sifat Komutatif, x + y = y + x atau xy = yx
2. Sifat Assosiatif, (x+y)+z = x + (y+z) atau
(xy)z = x(yz)
3. Sifat Distribusi x(y+z) = xy + xz
4 Hukum Identitas, x + 0 = 0 + x = x x.1 = 1.x = x
Maka
0 adalah bilangan identitas untuk perjumlahan
1 adalah bilangan identitas untuk perkalian
5. Hukum Invers, x+(-x) = 0 (Lawan) x(1/x) = 1
(kebalikan)
Macam – macam bilangan :
1. Bilangan Desimal
Sistem ini menggunakan 10 macam
symbol yaitu 0,1,2,3,4,5,6,7,8,dan 9. system ini menggunakan basis 10. Bentuk
nilai ini dapat berupa integer desimal atau pecahan.
Contoh : 21,5 dan 14,7
2.
Bilangan Binar
Sistem bilangan binary
menggunakan 2 macam symbol bilangan berbasis 2digit angka, yaitu 0 dan 1.
Contoh:
bilangan 1001
3. Bilangan Oktal
Sistem bilangan Oktal menggunakan 8 macam
symbol bilangan berbasis 8 digit angka, yaitu 0 ,1,2,3,4,5,6,7.
Position value system bilangan
octal adalah perpangkatan dari nilai 8.
Contoh : 12(8) = …… (10)
1.2 Pertidaksamaan
Kalimat terbuka yang menyatakan
hubungan ”lebih besar dari (>)”, lebih besar dari samadengan (≥)” lebih
kecil dari (<)” atau “lebih kecil dari sama dengan (≤)”
Contoh: x + 1 ≥ 0 dan x2 + 5x + 6 < 0
Langkah-langkah menyelesaikan
pertidaksamaan:
1. Kedua ruas kiri dan kanan dapat
ditambahkan/dikurangkan dengan bilangan yang sama
2. Kedua ruas dapat dikalikan/dibagikan dengan bilangan positif yang
sama
3. Kedua ruas dapat dikalikan/dibagikan dengan
blangan negatif yang sama dengan syarat membalikan tanda pertidaksamaan
Contoh :
a. 2x – 1 ≤ 0
b. 3x – 7 < 4x + 5
penyelesaian:
a. 2x – 1 ≤ 0
2x ≤ 1
x ≤ ½ jadi Hp ={x| x ≤ ½ ,x Ñ” R}
b. 3x – 7 < 4x + 5
3x – 4x < 5 + 7
-x < 12
x > -12
Hp ={x| x >-12 ,x Ñ” R}
1.3 Nilai Mutlak
Nilai
mutlak suatu bilangan real dinyatakan dengan |x| didefinisikan:
|x|
= x jika x ≥ 0
|x|=
- x jika x < 0
Contoh:
|-7| = 7 dan |7|= 7
Persamaan
Nilai Mutlak:
Contoh:
tentukan
nilai x yang memenuhi: |3x-5|= 4
Penyelesaian
:
3x-5 = 4 atau
3x-5= -4
3x =
9 3x = -4+5
x = 3 3x = 1
x =
1/3
Hp = {1/3, 3}
Akar
kuadrat
Rumus
akar kuadrat
Contoh:
Selesaikan
Penyelesaian:
1.4
Garis Lurus.
Kemiringan Garis (m).
Kemiringan garis (m) merupakan hasil bagi
dari suatu kenaikan (perubahan tegak) terhadap suatu larian (perubahan
mendatar) dengan kata lain ukuran kecuraman suatu garis untuk sebuah garis
melalui A(x1, y1) dan B(x2, y2)
dengan x1 ≠ x2
Dapat didefinisikan
menjadi :
m= kenaikan = y2 – y1
larian x2 – x1
|
Titik
A(3.2) ; B (8.4)
Y
B(8.4)
4
3
2
1 A(3.2)
x
1 2
3 4 5
6 7 8
Gambar 1.1
Beberapa konsep
kemiringan garis.
-
Garis mendatar mempunyai kemiringan nol
-
Garis yang naik ke kanan mempunyai
kemiringan positif
-
Garis yang jatuh ke kanan mempunyai
kemiringan negative.
Kemiringan Titik
Garis yang melalui
titik tetap (x1, y1) dengan kemiringan garis m disebut
kemiringan titik dengan persamaan:
Titik A ( 3.2 ) , B (
8.4 )
y B(8.4)
4
3 y
- 2
2 ---------------------------
1 A
(3.2) x – 3
1 2
3 4 5
6 7 8
x
Jika (8.4) digunakan
sebagai (x1, y1) maka :
y – y1 = m
(x – x1)
y – 4 =2/5( x – 8 )
y = 2/5 x – 16/5 + 4
5y = 2x – 16 + 20
5y – 2x = 20 …………..(i)
Jika (3.2) digunakan
sebagai (x1, y1)
y – y1 = m (
x – x1 )
y – 2 = 2/5 ( x – 3)
y – 2 = 2/5 x – 6/5
y = 2/5 x – 6/5 + 2
5y = 2x – 6 + 10
5y – 2x = 4 ……………..(ii)
Persamaan
(i) dan (ii) ekuivalen.
Kemiringan
Intersep.
Andaikan diketahui m adalah
kemiringan suatu garis dan b adalah perpotongan dengan sumbu y ( artinya garis
memotong sumbu y di (0,b)). Dengan memilih (0, b) sebagai (x1, y1)
dan menerapkan bentuk kemiringan titik diperoleh :
y - b = m (x –
0)
y = mx + b
|
2.
Fungsi dan Limit.
2.1
Fungsi dan Grafiknya.
Fungsi merupakan suatu aturan korespondensi
yang menghubungkan setiap objek x dalam satu himpunan yang disebut daerah asal
dengan sebuah nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua. Himpunan yang
diperoleh secara demikian disebut daerah hasil fungsi.
·
Notasi fungsi.
Untuk
memberi nama fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti “f pada x “, menunjukkan nilai yang diberikan
oleh f kepada x. Jadi, f(x) = x3
– 4.
Perhatikan
bentuk fungsi dan bukan fungsi berikut :
Fungsi bukan fungsi
Daerah asal Daerah hasil Daerah
asal
Daerah
hasil
Apabila aturan untuk
suatu fungsi diberikan oleh sebuah persamaan berbentuk y = f(x), mis y = x3 +
3x – 6, x = peubah bebas ; y = peubah tak bebas dan nilai y tergantung dari
pilihan nilai x.
·
Grafik Fungsi.
Apabila
daerah asal dan daerah hasil sebuah fungsi merupakan bilangan real, kita dapat
membayangkan fungsi itu dengan menggambarkan grafiknya pada suatu bidang
koordinat, jadi grafik fungsi f menyederhanakan grafik dan persamaan y = f (x).
Mis :
Grafik – grafik dari :
a.
f(x) = x2 – 2 b.
g(x) = x3 – 2x
y y
3 6
2 4
1 2
-3
-2 -1 1
2 3 x
-3
-2 -1 1
2
-1 -2
-2 -4
-3 -6
·
Jenis – Jenis Fungsi
a. Fungsi
konstan
Sebuah fungsi berbentuk f (x) = k,
dengan k konstan (bilangan real)
Grafiknya berupa sebuah garis mendatar.
b. Fungsi
identitas.
Sebuah fungsi berbentuk f(x) = x.
Grafiknya berupa sebuah garis yang melalui titik asal dengan kemiringan 1.
c. Fungsi
Polinomial.
Sembarang fungsi yang dapat diperoleh
dari fungsi konstandan fungsi identitas menggunakan operasi penambahan,
pengurangan dan perkalian.
f(x) = an xn + an-1 xn-1 +
…+ a1 x + a0
d. Fungsi
rasional
Hasil bagi fungsi – fungsi polynomial
an
xn + an-1 xn-1 + …+ a1 x + a0
f(x) =
bn xm
+ bm-1 xm-1 + …+ b1 x + b0
e. Fungsi
Aljabar Eksplisit
Fungsi yang dapat diperoleh dari fungsi
konstan dan fungsi identitas melalui lima operasi penambahan, pengurangan,
perkalian, pembagian, dan penarikan akar.
f(x) = 3x2/5 - 3√x2
2.2
Fungsi Tri Gonometri
a. Sifat
– sifat dasar sinus dan kosinus.
c
sin b =
k/m
|
cos b = l/m
|
tan
b = k/l
|
k
a b
b. Grafik
Sinus dan Kosinus
y
y= cos x
2 y = sin x
1
-2π -π 1/2π π
2Ï€ x
-1
-2
c. Empat
Fungsi Trigonometri
1.
Tan x = sin x / cox x
2.
Cot x = cos x / sin x
3.
Sec x = 1 / cos x
4. Cosec
x = 1 / sin x
2.3 Teorema limit utama
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang memiliki
limit di a, aÃŽbilangan Real, nÃŽ bilangan bulat positif dan k konstanta berlaku
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
2.4 Teorema limit tak hingga
Jika f dan g adalah
fungsi-fungsi yang memiliki limit di a, aÃŽbilangan
Real, nÃŽ
bilangan bulat positif dan k konstanta berlaku
1.
2.
3.
Jika
ada dan
ada, maka
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11. Jika
maka
12. Jika
maka
Contoh soal :
a.
= 3.0 – 4 = -4
b.
=
=
=
3. INTEGRAL
Rumus integral:
Beberapa macam teknik pengintergralan digunakan untuk menentukan
antiturunan bermacam-macam fungsi. Hal
ini bertujuan untuk memudahkan dalam menentukan penyelesaian integral fungsi yang ditentukan. Agar
teknik-teknik pengingtegralan dapat dipahami oleh pembaca maka dalam bab ini
akan dirincikan metode-metode pengintegralan dengan syarat-syarat yang
ditentukan.
Integral adalah lawan diferensiasi. Penulisan simbol
integral:
Rumus – rumus dasar integrasi
Contoh :
1.
2.
3.
4.
5.
3.1 Pembagian
integral
3.1.1 Integral Tertentu
Diberikan suatu fungsi Æ’ bervariabel real x
dan interval antara [a, b] pada garis real, integral tertentu:
secara
informal didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang xy yang dibatasi oleh
kurva grafik Æ’, sumbu-x, dan garis vertikal x = a dan x
= b. Pada notasi integral di atas: a adalah batas
bawah dan b adalah batas atas yang menentukan domain
pengintegralan, Æ’ adalah integran yang akan dievaluasi terhadap x
pada interval [a,b], dan dx adalah variabel pengintegralan.
Seiring
dengan semakin banyaknya subinterval dan semakin sempitnya lebar subinterval
yang diambil, luas keseluruhan batangan akan semakin mendekati luas daerah di
bawah kurva.
Terdapat berbagai jenis pendefinisian formal
integral tertentu, namun yang paling umumnya digunakan adalah definisi integral Riemann.
Integral Rieman didefinisikan sebagai limit dari penjumlahan Riemann.
Misalkanlah kita hendak mencari luas daerah yang dibatasi oleh fungsi Æ’
pada interval tertutup [a,b]. Dalam mencari luas daerah tersebut,
interval [a,b] dapat kita bagi menjadi banyak subinterval yang
lebarnya tidak perlu sama, dan kita memilih sejumlah n-1 titik {x1,
x2, x3,..., xn - 1} antara
a dengan b sehingga memenuhi hubungan:
Himpunan
tersebut kita sebut sebagai partisi [a,b],
yang membagi [a,b] menjadi sejumlah n subinterval
Lebar
subinterval pertama [x0,x1] kita nyatakan
sebagai Δx1, demikian pula lebar subinterval ke-i kita
nyatakan sebagai Δxi = xi - xi
- 1. Pada tiap-tiap subinterval inilah kita pilih suatu titik sembarang
dan pada subinterval ke-i tersebut kita memilih titik sembarang ti.
Maka pada tiap-tiap subinterval akan terdapat
batangan persegi panjang yang lebarnya sebesar Δx dan tingginya berawal
dari sumbu x sampai menyentuh titik (ti, Æ’(ti))
pada kurva. Apabila kita menghitung luas tiap-tiap batangan tersebut dengan
mengalikan Æ’(ti)· Δxi dan
menjumlahkan keseluruhan luas daerah batangan tersebut, kita akan dapatkan:
Penjumlahan
Sp disebut sebagai penjumlahan Riemann untuk Æ’ pada
interval [a,b]. Perhatikan bahwa semakin kecil subinterval
partisi yang kita ambil, hasil penjumlahan Riemann ini akan semakin mendekati
nilai luas daerah yang kita inginkan. Apabila kita mengambil limit dari norma
partisi
mendekati nol, maka kita akan mendapatkan luas
daerah tersebut.
Secara cermat, definisi integral tertentu sebagai
limit dari penjumlahan Riemann adalah: Diberikan Æ’(x)
sebagai fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [a,b].
Kita katakan bahwa bilangan I adalah integral tertentu Æ’ di
sepanjang [a,b] dan bahwa I adalah limit dari penjumlahan
Riemann
apabila kondisi berikut dipenuhi: Untuk setiap
bilangan ε > 0 apapun terdapat sebuah bilangan δ > 0 yang
berkorespondensi dengannya sedemikian rupanya untuk setiap partisi
di sepanjang [a,b] dengan
dan pilihan ti apapun pada [xk
- 1, ti], kita dapatkan
Secara matematis dapat kita tuliskan:
Apabila tiap-tiap partisi mempunyai sejumlah n
subinterval yang sama, maka lebar Δx = (b-a)/n, sehingga
persamaan di atas dapat pula kita tulis sebagai:
Limit ini selalu diambil
ketika norma partisi mendekati nol dan jumlah subinterval yang ada mendekati
tak terhingga banyaknya.
Contoh
1.
Sebagai contohnya, apabila
kita hendak menghitung integral tertentu
, yakni mencari luas daerah A dibawah
kurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka
perhitungan integral tertentu
sebagai limit dari penjumlahan Riemannnya adalah
Pemilihan
partisi ataupun titik ti secara sembarang akan menghasilkan
nilai yang sama sepanjang norma partisi tersebut mendekati nol. Apabila kita
memilih partisi P membagi-bagi interval [0,b] menjadi n
subinterval yang berlebar sama Δx = (b - 0)/n = b/n
dan titik t'i yang dipilih adalah titik
akhir kiri setiap subinterval, partisi yang kita
dapatkan adalah:dan , sehingga:
Seiring dengan n mendekati tak terhingga dan
norma partisi
mendekati 0, maka didapatkan:
Dalam
prakteknya, penerapan definisi integral tertentu dalam mencari nilai integral
tertentu tersebut jarang sekali digunakan karena tidak praktis. Teorema dasar kalkulus (lihat bagian bawah)
memberikan cara yang lebih praktis dalam mencari nilai integral tertentu.
Integral tertentu biasa digunakan untuk menghitung luas daerah yang
dibatasi kurva y=f(x) dan sumbu x,
dengan batas tertentu
Sifat – sifat integral tertentu
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Luas daerah yang dibatasi kurva y=f(x) dan sumbu x
dengan batas x1=a dan x2=b
Luas Daerah Antara Dua Kurva Untuk interval [a,b]
dengan f(x)>=g(x), maka:
3.1.2
Integral tak tentu
Manakala integral tertentu
adalah sebuah bilangan yang besarnya ditentukan dengan mengambil limit
penjumlahan Riemann, yang diasosiasikan dengan partisi interval tertutup yang
norma partisinya mendekati nol,
teorema dasar kalkulus
(
lihat
bagian bawah) menyatakan
bahwa integral tertentu sebuah fungsi kontinu dapat dihitung dengan mudah
apabila kita dapat mencari antiturunan/antiderivatif fungsi tersebut. Apabila :
Keseluruhan himpunan antiturunan/antiderivatif
sebuah fungsi Æ’ adalah integral tak tentu ataupun primitif dari Æ’
terhadap x dan dituliskan secara matematis sebagai:
Ekspresi F(x) + C adalah antiderivatif umum Æ’ dan C
adalah konstanta sembarang.
Misalkan terdapat sebuah
fungsi f(x) = x2, maka integral tak tentu ataupun antiturunan
dari fungsi tersebut adalah:
Perhatikan bahwa integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu.
Integral tertentu dalam bentuk
adalah sebuah
bilangan, manakala integral tak tentu :
adalah sebuah fungsi
yang memiliki tambahan konstanta sembarang C.
4. TEKNIK PENGINTEGRALAN
4.1 Metode-metode pengintegralan
1. Metode Substitusi
Metode substitusi disebut juga metode pemisalan. Pada
umumnya digunakan untuk memudahkan selesaian integral ke bentuk rumus dasar
rumus integral tak tentu, yaitu;
a.
dx =
+ C, asalkan n
-1 atau
b.
=
+ C, asalkan n
-1
Sehingga rumus di atas adalah pedoman umumnya, jika
integrannya belum sesuai dengan tanda integralnya atau menyimpang dari bentuk
di atas maka sedapat mungkin diubah terlebih dahulu. . Dengan demikian
menyederhanakan integran menjadi bentuk baku adalah dengan mengaplikasikan
rumus dasar integral tidak tentu tersebut di atas. Akhirnya
selesaiannya dapat dilakukan dengan metode substitusi (pemisalan).
2.
Integral Fungsi
Trigonometri
Beberapa rumus dasar Integral fungsi Trigonometri
adalah:
-
2.
4.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
3.
Substitusi
Fungsi Trigonometri
Metode substitusi trigonometri
digunakan untuk menyelesaikan integral suatu fungsi, jika integrannya memuat
bentuk-bentuk:
a.
, a
Real
b.
=
, a
Real
c.
, a
Real
atau bentuk lain yang dapat dimodifikasi menjadi
bentuk di atas, misalnya
dan seterusnya.
Bentuk integral yang integrannya memuat
atau modifikasinya, penyelesaiannya menggunakan
substitusi x = a sin t, -
sehingga,
= a sec t dan dx = a cos t dt.
4.
Integral
Parsial
Integral parsial biasanya diterapkan
untuk suatu integran yang merupakan perkalian dua fungsi uv, dimana u = f(x)
dan v = g(x).
Karena y = uv, maka menurut
definisi differensial dan turunan fungsi y = uv diperoleh dy = d(uv) d(uv) = u dv + v du
Dengan mengintegralkan masing-masing bagian
diperoleh
l
Bentuk terakhir ini dinamakan
rumus integral parsial. Prinsip yang digunakan dalam integral parsial adalah
integran yang berbentu uv di manipulasi menjadi u dv dan dalam menentukan udv
tidak boleh memunculkan persoalan yang lebih sulit dibandingkan dengan
tersebut.
5. Integral Fungsi Rasional.
Fungsi rasional adalah suatu
fungsi yang dinyatakan dalam bentuk F(x) =
, dimana f(x) , g(x) adalah fungsi
pangkat banyak dan g(x)
0. f(x) = a
+ a
x + a
x
+ a
x
+ … + a
x
, n = 1, 2, 3, …
Contoh
soal dan penyelesaian :
1.
dx
Misal u =
Substitusi bentuk
terakhir ke
dx, diperoleh
= -2
Dengan rumus dasar di dapat
dx = -2
= -2
2.
Jawab
=
dx
=
=
= -cos x
+
1.
Karena
integran fungsi rasional sejati maka
=
=
=
Diperoleh
A+4B
= 6, (B+4C) = -3, (A+C) = 1 atau A = 2, B = 1, dan C = -1 sehingga:
=
=
=
BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
3.2 Saran- saran
1. Setiap orang harus lebih giat dalam mencari altrnatif dalam
mengembangkan dan memajukan pola pikirnya dalam mempelajari kalkulus
masing-masing.
2. Dengan
banyaknya perbedaan dalam pelajaran kalkulus maka setiap orang dituntut untuk
lebih kreatif dan inovatif.
3. Kalkulus
merupakan ilmu yang sangat sulit dipelajari, jadi kita hrus lebih giat lagi
dalam belajar.
4. Dalam mempelajari kalkulus kita bias
juga mempelajari soal-soal yang berhubungan dengan pelajaran tersebut.
DAFTAR
PUSTAKA
Putra, 2004, Matematika Kalkulus Jilid 1, Jakarta: PT GramediaWidiasarana Indonesia.
Tim Penulis Matematika, 1995, Matematika 1B Edisi Revisi, Bandung: PT Remaja Rosdakarya.
Tim Penulis Matematika, 2004, Matematika Untuk SMK Kelas 1,DinasPendidikan
Propinsi Jawa Barat
Anonim. 1996. Mathematic for school . longman
Sumarno, Ade, Baharudin dan Dedi rohendri.
1980. Penuntun belajar matematika.
Bandung . Epsilon Group.
Tim penyusun . 1999 . ilmu pengetahuan popular jilid 2. Grolier internasional.inc.